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Tutto è relativo...

Tuffarsi in un libro di cosmologia è un'esperienza sconvolgente. Astri che esplodono ed emettono per giorni l'energia di un'intera galassia, cadaveri stellari dove un granello di materia pesa più di un carro armato e buchi neri rotanti, veri e propri aspirapolvere cosmici capaci di deformare spazio e tempo... nulla può suscitare altrettante emozioni, soprattutto perché si tratta di oggetti che scaturiscono dalla ricerca scientifica e non dalla fantasia di qualche estroso scrittore.
Nel secolo scorso, alla scala delle meraviglie cosmiche sono stati aggiunti altri due gradini: la relatività di Albert Einstein e la meccanica quantistica di Max Planck. Quest'ultima è talmente complessa che, a detta del noto fisico Richard Feynman, solo pochi eletti ne possono afferrare i principi. Si tratta, tra l'altro, di accettare l'idea che a livello subatomico i rapporti di causa-effetto vengano disattesi e che un evento possa accadere PRIMA della causa che lo ha scatenato. Queste poche affermazioni bastano a rimandare dopo un'eventuale laurea in fisica ogni tentativo di affrontare l'argomento!
Mi sono cimentato invece (senza la pretesa di esservi riuscito pienamente) nella stesura di un pezzo sulla relatività einsteniana; nella speranza di una miglior comprensibilità, ho deciso di dividere il testo in blocchi principali, sempre visibili, e altri destinati agli approfondimenti visualizzabili a richiesta.
PRIMA GALILEO E NEWTON, POI EINSTEIN! La teoria della relatività di Albert Einstein, pur sottintendendo una non indifferente elasticità mentale, sembrerebbe più afferrabile rispetto alla meccanica quantistica. Va usato il condizionale perché le informazioni provenienti dai nostri sensi rendono difficili da digerire anche verità e concetti elementari, che devono costituire la base delle nostre conoscenze. In effetti prima di un approccio alla teoria della relatività c'è bisogno di fare un bel passo indietro, fino a due padri della scienza come Galileo e Newton, per scardinare pregiudizi aristotelici che ancor oggi, in pieno ventunesimo secolo, inquinano il nostro modo di pensare.
Ricordiamo dunque che Galileo e Newton ci insegnano che non è necessaria una forza perché un corpo si muova; in assenza di altre perturbazioni esso tende a mantenere il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Oltre a questo, i due famosi pensatori rivoluzionarono la scienza stabilendo che tutti i corpi, al netto dell'attrito dell'aria, cadono con la stessa velocità. Newton trovò inoltre una formula (legge della gravitazione universale) che permette di calcolare ancor oggi con ottima approssimazione le traiettorie dei corpi celesti. [...]
Bisogna addirittura tornare al 17° secolo, quando per la prima volta venne messo in dubbio l'ipse dixit aristotelico. Il grande pensatore greco, sulle deduzioni del quale si fondava tutta la scienza del tempo, riteneva necessario l'effetto di una forza affinché un corpo si muovesse; oggi invece sappiamo, per il primo principio della dinamica, che in assenza di altre perturbazioni un corpo in movimento tende a proseguire il suo stato di moto rettilineo uniforme.
Era convinzione del filosofo, inoltre, che i gravi (ovvero tutti i corpi dotati di peso) cadessero a terra con una velocità tanto più grande quanto maggiore era la loro massa. Galileo Galilei introdusse il principio di inerzia e dimostrò che tutti i corpi, grandi o piccoli, trascurando la resistenza dell'aria, cadono con la stessa velocità e che Aristotele aveva quindi torto. Egli fece scendere delle sfere di materiale diverso da una serie di piani inclinati e verificò grazie a dei campanellini che la velocità di caduta non dipendeva dal diverso peso ma solo dal tempo trascorso: tutti i corpi, quindi, cadono con la stessa velocità e la velocità è proporzionale al tempo trascorso da quando il moto è iniziato.
Galileo, non disponendo di una matematica adatta allo scopo, attaccò l'ipotesi di Aristotele con un ragionamento: egli suppose di avere due oggetti di diverso peso che, secondo Aristotele, lasciati cadere dalla stessa altezza avrebbero dovuto toccare terra in momenti diversi. Galileo immaginò allora di formare con i due oggetti un corpo unico.
Secondo Aristotele il nuovo corpo, più massiccio, sarebbe dovuto cadere con velocità maggiore del corpo più pesante di partenza. In base all'ipotesi di Aristotele è però anche vero che l'oggetto più leggero tende a rallentare quello più veloce e che la velocità del corpo unico sia quindi intermedia rispetto alle singole velocità. Se le due conclusioni, entrambe corrette da un punto di vista logico, portano a conclusioni contrastanti è evidente che qualcosa non va.
C'è da dire che la spiegazione dei sassi uniti insieme è convincente, ma un supporto matematico a queste affermazioni sarebbe gradito; e qui entra in gioco il genio di Newton, che nella prima metà del '700 riprese gli studi di Galileo, formulando oltre alla prima legge della dinamica (il già citato principio d'inerzia, per il quale tutti i corpi permangono nel loro stato di quiete o di moto rettilineo uniforme in assenza di forze), la seconda legge (o principio della proporzionalità), riassunta nella formula F=ma, che ci dice che un corpo accelera quando è sottoposto ad una forza, e che l'accelerazione risultante è tanto minore quanto maggiore è la massa. In effetti dalla formula iniziale ricaviamo a=F/m, che ci dice che quando un corpo è in caduta la sua massa (non a caso definita "inerziale") tende ad opporsi all'accelerazione. Nel caso particolare della caduta dei gravi sulla Terra, sappiamo che la forza peso (la forza che il campo gravitazionale terrestre esercita su una massa) è espressa dalla formula P=mg. Sostituendo quindi "mg" a "F" nella formula del secondo principio e semplificando m otteniamo un "sorprendente" risultato: a=g, ovvero l'accelerazione che subisce un corpo cadendo verso la Terra in assenza dell'attrito dell'aria non dipende dal suo peso (o massa, che in questo caso sono equivalenti)! In altre parole, forza e massa aumentano proporzionalmente, l'una (la massa) controbilanciando l'aumento dell'altra (la forza peso).
Newton giunse anche alla formulazione della legge della gravitazione universale, che afferma che due corpi si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa (F = G(m1m2)/d2), dove G è la costante di gravitazione universale e vale 6,67 X 10-11, m1 ed m2 sono le masse dei due corpi, d la loro distanza); tale formula permise di calcolare le influenze gravitazionali che intercorrono tra i corpi celesti e di calcolarne quindi con precisione le traiettorie.
A questo punto ci si potrebbe chiedere: che c'entra tutto ciò con la teoria della relatività di Einstein? Non molto, in verità! Ma, non appena iniziato a scrivere questo pezzo, mi sono reso conto che aveva poco senso iniziare a parlare della cima della montagna quando si ignora ciò che c'è alla base! Purtroppo nel mondo del Duemila molti di noi rimangono ancorati a visioni aristoteliche!

LA RELATIVITÀ RISTRETTA. Sfatati alcuni miti, andiamo subito a confutare la fisica di Galileo e Newton! Il passo in questo caso è grande e comporterebbe l'introduzione di ragionamenti e formule troppo complesse per un semplice appassionato. Mi limiterò dunque a citare le conclusioni della fisica relativistica e ad analizzarne le straordinarie conseguenze... [...]
La teoria della relatività fu formulata all'inizio del XX secolo da Albert Einstein. Lo scopo originario era quello di risolvere alcuni aspetti anomali delle leggi fisiche nei sistemi in moto relativo, ma i diversi sviluppi assunti in seguito hanno condotto alla definizione di principi completamente estranei alla fisica classica, come l'equivalenza tra massa ed energia, tra spazio e tempo, tra i concetti di gravitazione e accelerazione, tutti presupposti essenziali per lo sviluppo della fisica moderna. La teoria della relatività scalza tempo e spazio dal piedistallo di unità di misura assolute, alle quali fare riferimento per quantificare tutte le altre grandezze del nostro mondo. Secondo lo scienziato tedesco dobbiamo addirittura accettare l'idea che non esista un concetto universale di "adesso", ma che uno stesso evento possa accadere in momenti diversi per osservatori diversi!
Gli studi di Einstein si articolarono in due momenti ben distinti; nella prima fase egli elaborò la relatività ristretta: se il moto degli oggetti normali è sempre relativo agli altri osservatori, non lo è quello della velocità della luce, che invece è costante per tutti, anche per gli osservatori in moto. A pensarci anche solo un po', questa affermazione è pazzesca: che si utilizzi un razzo per andare verso un fascio di fotoni (luce) o che lo si usi per allontanarvisi, quei fotoni si muoveranno per i nostri strumenti di misurazione sempre a 300.000 km al secondo! Questo fatto rivoluziona radicalmente la nostra visione del tempo e dello spazio: essi infatti si modificano in modo che la misurazione della velocità della luce restituisca sempre lo stesso risultato, ma non solo: essi rappresentano due facce della stessa medaglia, tanto da costituire una sola entità, lo spazio-tempo. La prima conseguenza è che il mondo appare diverso ad osservatori in moto l'uno rispetto all'altro, avendo essi una diversa percezione di queste due grandezze. Quindi i loro strumenti di misurazione non concordano né sugli intervalli temporali tra due eventi prefissati né sulle distanze. [...]
Ma perché, nella vita di tutti i giorni, non ci accorgiamo di queste differenze? Perché un orologio che ha viaggiato di un aereo supersonico non mostra discrepanze con uno rimasto a Terra? In effetti non possiamo accorgercene, nonostante esistano e siano state rilevate con orologi atomici, in quanto esse diventano rilevanti solo ad altissime velocità. Possiamo dunque affermare che la meccanica newtoniana differisce dalla meccanica relativistica sia nei principi fondamentali sia nella forma matematica, ma giunge a risultati equivalenti se applicata allo studio di processi che coinvolgono velocità piccole rispetto a quella di propagazione della luce; solo in sistemi in moto ad alte velocità è richiesto l'uso della relatività. Se per esempio viaggiassimo su un'auto a due terzi della velocità della luce per qualche minuto e confrontassimo poi il nostro orologio con quello di un osservatore rimasto fermo rispetto a noi troveremmo che "il nostro tempo" è trascorso più lentamente. Allo stesso modo, se un osservatore misurasse la lunghezza di quell'auto mentre gli sfreccia dinnanzi usando la formula del moto rettilineo uniforme s=t*v (t=tempo trascorso tra l'arrivo del cofano e la fine della carrozzeria) troverebbe un valore inferiore rispetto alla lunghezza attesa. Viaggiando a velocità paragonabili a quella della luce le differenze nelle misurazioni inizierebbero ad assumere proporzioni evidenti e per noi sconcertanti.
Il fatto che la velocità della luce, per qualunque osservatore, sia sempre di 300.000 km al secondo ha, tra le varie implicazioni, quella che il concetto di "adesso" sia del tutto relativo. Si supponga ad esempio che i rappresentanti di due nazioni in guerra si trovino su di un treno in movimento, ognuno seduto ai lati opposti di un lungo tavolo posto sul vagone, e che decidano di firmare il trattato di pace al momento dell'accensione di una lampadina posta al centro del tavolo, equidistante dai due ambasciatori. La luce, per tutti gli osservatori posti sul treno, raggiunge i due uomini di stato nello stesso istante. Per quanto detto precedentemente, infatti, nonostante uno dei due ambasciatori viaggi verso il raggio di luce e l'altro se ne allontani, la velocità della luce non cambia (cambia piuttosto lo spazio percorso) e la firma avviene contemporaneamente. Questo però non accade per gli osservatori che si trovano all'esterno del treno, in quanto dal loro punto di vista la luce deve percorrere una distanza più breve per raggiungere l'ambasciatore seduto in modo da guardare nella direzione del moto (attenzione: si parla di distanza percorse, non di velocità)! Ma chi ha ragione? La conclusione sconcertante è che hanno ragione tutti! Il fatto che la velocità della luce sia sempre ed inevitabilmente la stessa porta a questo paradosso: eventi simultanei per un gruppo di osservatori non lo sono per altri! Se infatti la velocità della luce non fosse costante per tutti, gli osservatori esterni avrebbero potuto concludere che sì, la luce ha dovuto percorrere più spazio per raggiungere l'ambasciatore seduto con la schiena rivolta alla locomotiva, ma la cosa sarebbe stata compensata dal fatto che alla velocità della luce si sarebbe sommata quella del treno; il fatto che la velocità della luce è un valore inalterabile genera questa discordanza. [...]
La conclusione fa suonare la campana a morto per la fisica ottocentesca: la simultaneità universale non esiste, non c'è un orologio comune che batta le ore allo stesso modo in tutti gli angoli dell'universo, perché dobbiamo considerare che esso è in espansione, e che regioni del cosmo da noi molto distanti si allontanano a velocità sempre crescenti. Come detto, si tratta di differenze che si notano solamente ad alte velocità: nell'esempio del treno, se esso viaggiasse a 15/h la luce giungerebbe ai due ambasciatori (per un osservatore fermo) con una differenza di circa un milionesimo di miliardesimo di secondo; con un treno in viaggio a 950 milioni di km all'ora, invece, l'ambasciatore posto con le spalle alla locomotiva aspetterebbe 20 volte di più.
Ma in quale modo il moto influenza lo scorrere del tempo? Lo possiamo capire utilizzando un orologio a luce, composto semplicemente da due specchi paralleli e un fotone che rimbalza ciclicamente da uno specchio all'altro. L'orologio "batte un colpo" ogni volta che il fotone compie un ciclo completo. Supponiamo che, noi fermi, si veda passare l'orologio: dato che i due specchi sono in movimento, nel periodo di tempo impiegato dal fotone per passare da uno specchio all'altro quest'ultimo si sarà spostato; quindi, per un osservatore esterno, il fotone percorrerà una traiettoria obliqua, impiegando più tempo.
Da questo semplicissimo esempio deduciamo che un orologio che consideriamo in movimento batterà il tempo più lentamente! Questo ovviamente per noi che lo guardiamo; l'orologio in movimento (di moto uniforme) avrà tutto il diritto di considerarsi in quiete, e vedere invece noi spostarci. Possiamo dunque concludere questo paragrafo con un'affermazione sorprendente: se noi ci sedessimo a cavalcioni di un orologio che viaggia a due terzi della velocità della luce, le lancette del nostro improvvisato cavallo d'acciaio trascorrerebbero, per un osservatore esterno, assai lentamente; nulla invece cambierebbe dal nostro punto di vista. Dobbiamo quindi accettare l'idea che non esista un presente universale e che passato, presente e futuro coesistano nel cosmo... concetto molto difficile da afferrare.
Orologio a luce in movimento rispetto all'osservatore
In questo semplice esperimento possiamo verificare che il fotone di un orologio a luce, in movimento rispetto ad un osservatore, compie un ciclo in un tempo più lungo rispetto ad uno stesso orologio in quiete. Ne dobbiamo dedurre che, per l'osservatore, il tempo dell'orologio scorre più lentamente! Ovviamente l'orologio, considerando l'osservatore in movimento, avrà una visione delle cose completamente rovesciata.
Un'altra conseguenza fondamentale della relatività ristretta riguarda il concetto di massa ed energia. Secondo la meccanica classica un corpo in movimento possiede una certa quantità di energia cinetica (di movimento) che si evidenzia quando quel corpo ne urta un altro. Se un corpo è in quiete, invece, la sua energia cinetica è nulla. Secondo la relatività ristretta, invece, un corpo ha energia anche quando è in quiete e questa energia è data dalla famosa formula E=mc2, che esprime un concetto completamente nuovo e ricco di conseguenze inaspettate rispetto alla meccanica classica: esso afferma la totale equivalenza di massa ed energia. Sostiene cioè che massa ed energia sono due aspetti apparentemente diversi di una medesima realtà. [...]
La massa può di conseguenza trasformarsi in energia e viceversa e la quantità di energia che si produce trasformando la massa è enorme perché nella formula E=mc2 m viene moltiplicato per il numero grandissimo (90.000.000.000.000.000). Simili energie si ottengono nelle reazioni atomiche sia di fissione (nei reattori e nelle bombe atomiche nuclei pesanti come l'uranio si rompono generando parti più leggere; il difetto di massa è la parte che diviene energia) che di fusione (nelle stelle e nelle bombe H nuclei leggeri come per esempio il deuterio si fondono formando elio con trasformazione del difetto di massa in energia).

LA RELATIVITÀ GENERALE. Il fatto che la velocità della luce sia un limite insuperabile e che spazio e tempo si relativizzino per mantenerlo tale risolve un conflitto, ma ne genera un altro non meno pesante con la teoria della gravitazione universale di Newton. Egli, oltre a non spiegare la natura della gravità, non poteva sapere che la massima velocità con cui un impulso viene trasmesso è quella della luce; nel caso in cui il Sole esplodesse, secondo la sua legge la Terra uscirebbe istantaneamente dalla sua orbita, cosa impossibile perché tra i due corpi celesti vi è una distanza di otto minuti-luce.
Einstein sviluppò allora un approccio completamente nuovo al concetto di gravità, basato sul cosiddetto principio di equivalenza. Nella nuova formulazione, le forze associate alla gravità sono del tutto equivalenti a quelle prodotte da un'accelerazione, per cui risulta teoricamente impossibile distinguere per via sperimentale i due tipi di forze. Questo permise allo scienziato tedesco di studiare gli effetti dell'accelerazione piuttosto che della gravità, forza oscura e sfuggente, riuscendo così a spiegare che la forza gravitazionale viene trasmessa attraverso la curvatura del tessuto spazio-temporale. [...]
A tale proposito si utilizza l'esempio di una giostra rotante: seduti lungo i bordi esterni, sperimentiamo un moto accelerato e ci sentiamo schiacciati con la schiena, esattamente come se fossimo sottoposti alla gravità. Se provassimo a misurare la circonferenza ed il raggio della giostra, troveremmo che il loro rapporto non è 2Xpigreco, come accade per i cerchi piani. Questo perché, per la relatività ristretta, il righello di chi misura la circonferenza, trovandosi nella direzione del moto, si accorcerebbe, cosa che non accadrebbe posizionando un righello su un raggio, che non si trova nella direzione del moto. Dobbiamo concludere che le nostre misurazioni non sono state fatte su di un piano!
L'accelerazione, e quindi anche la gravità, distorcono lo spazio. Non solo: dato che la relatività ristretta ci dice che spazio e tempo costituiscono una struttura unica, anche il tempo si distorce. Più precisamente, il tempo scorre più lentamente, rispetto ad un osservatore esterno, dove la velocità è maggiore, (nel caso descritto nell'approfondimento si tratterebbe del bordo della giostra rotante).
Si può quindi concludere che la gravità è la curvatura dello spazio e del tempo. Gli oggetti, a seconda della loro massa, distorcono più o meno pesantemente la trama del tessuto spaziotemporale, influenzando il movimento degli oggetti vicini.
Ciò implica che in presenza di oggetti particolarmente massivi il tempo subisce un evidente rallentamento; ecco dunque che, supponendo di poterci calare fino a pochi centimetri dall'orizzonte degli eventi di un buco nero, il nostro tempo (per un osservatore esterno) scorrerebbe molto lentamente; una permanenza di un anno in prossimità del buco nero corrisponderebbe a diecimila anni terrestri! La macchina del tempo, in un certo senso, esiste già! Un astronauta che superasse la distanza critica dal buco nero (il raggio di Schwarzschild) cadrebbe quasi istantaneamente al centro, ma se noi lo osservassimo a distanza di sicurezza, lo vedremmo avvicinarsi sempre più lentamente alla distanza critica: per raggiungerla, dal nostro punto di vista egli impiegherebbe un tempo infinito! La relatività del tempo si manifesta in questi casi in maniera veramente spettacolare!
Altre implicazioni, anche se lo sforzo mentale si fa via via sempre più pesante, è quello di pensare a due osservatori in moto uniforme ad alte velocità: entrambi sarebbero autorizzati a ritenersi in stato di quiete, e vedrebbero l'orologio dell'altro ritardare! Il tempo è davvero un concetto relativo...
Mi rendo conto che per noi comuni mortali, abituati ad una visione semplificata ed errata della fisica che governa il mondo, ciò superi già abbondantemente i confini dell'assurdo, ma è possibile alzare ancor più l'asticella con questa ultima considerazione: un intrepido astronauta, che in qualche modo riuscisse a superare indenne l'orizzonte degli eventi di un buco nero, potrebbe assistere allo scorrere di tutta la storia futura dell'universo!
Direi che è tutto e anche troppo!

Bibliografia:
Brian Greene - L'universo elegante (Einaudi, 2000); Stephen Hawking - Dal big bang ai buchi neri (Rizzoli, 1994); Wikipedia
Marco Bonatti